노름(Norm)은 단순히 벡터의 길이를 계산하는 공식이 아닙니다. 왜 여러 개의 숫자를 하나의 크기로 표현해야 하는지, 공학에서는 왜 다양한 노름을 사용하는지 직관적으로 이해해봅니다.
지난 글에서는 벡터가 단순한 화살표가 아니라, 여러 개의 정보를 하나로 묶는 공학의 언어라는 이야기를 했습니다.
그런데 이제 새로운 질문이 생깁니다.
벡터는 알겠는데…
"그 벡터가 얼마나 큰지는 어떻게 알 수 있을까?"
오늘은 이 질문에 답해보려고 합니다.
벡터가 얼마나 큰지 어떻게 표현할까?
먼저 아주 간단한 벡터 하나를 보겠습니다.
질문 하나 드려볼게요.
이 벡터의 크기는 얼마일까요?
조금 생각해보면 여러 답이 떠오를 수도 있습니다.
- 3과 4를 더해서 7?
- 피타고라스를 이용해서 5?
- 아니면 4?
사실 놀랍게도 이 답들은 모두 특정한 기준에서는 맞는 답입니다.
왜냐하면 "크기"를 정의하는 방법은 하나가 아니기 때문입니다.
노름(Norm)이란 무엇일까?
노름이라는 말을 처음 들으면 대부분 여기서 겁을 먹습니다.
갑자기 아래와 같은 식이 등장하기 때문입니다.
식이 갑자기 길어졌네요. 괜찮습니다. 오늘은 이 식을 외우는 것이 목표가 아닙니다. "왜 이런 식이 등장했는지"만 이해하면 충분합니다.
하나씩 같이 뜯어보겠습니다.
① Σ는 '전부 더하세요'라는 뜻입니다.
\[ \sum \]
처음에는 복잡해 보이지만 사실 굉장히 단순한 기호입니다.
벡터 안에 있는 숫자들을 모두 더하라는 의미입니다.
예를 들어
이라면 3과 4를 대상으로 계산한다는 뜻입니다.
② p는 무엇을 의미할까?
오늘 가장 중요한 문자는 사실 p입니다.
이 숫자는 "무엇을 크다고 볼 것인가"를 결정합니다.
즉, 노름은 하나가 아니라 여러 종류가 존재합니다.
L₁ 노름 - 모두 더하기
\[ \|x\|_1 = |3|+|4| = 7 \]
L₁ 노름은 아주 단순합니다.
모든 성분의 절댓값을 더합니다.
격자 모양의 도로를 이동하는 거리와 비슷해서 맨해튼 거리(Manhattan Distance)라고도 부릅니다.
L₂ 노름 - 우리가 가장 익숙한 거리
\[ \|x\|_2 = \sqrt{3^2+4^2} = 5 \]
이건 아마 가장 익숙한 공식일 것입니다.
중학교 때 배운 피타고라스 정리와 똑같습니다.
원점에서 벡터 끝점까지의 직선거리를 의미합니다.
L∞ 노름 - 가장 큰 값만 본다
\[ \|x\|_{\infty} = 4 \]
이번에는 조금 다르게 생각합니다.
벡터 안에서 가장 큰 숫자 하나만 선택합니다.
즉, 가장 심각한 오차가 얼마인지만 보는 것입니다.
같은 벡터인데 왜 결과가 다를까?
같은 벡터인데도
- L₁ : 7
- L₂ : 5
- L∞ : 4
세 가지 결과가 나왔습니다.
벡터가 바뀐 것이 아닙니다.
크기를 바라보는 기준이 달라진 것입니다.
조금 다른 비유를 해볼까요?
학생의 성적을 평가한다고 생각해 봅시다.
- 총점으로 평가할 수도 있고
- 평균으로 평가할 수도 있고
- 가장 높은 점수 하나만 볼 수도 있습니다.
학생은 그대로인데 평가 기준이 달라지면 결과도 달라집니다.
노름도 똑같습니다.
🧪 직접 움직여 보면 더 쉽게 이해됩니다.
아래 시각화에서 벡터를 직접 움직여 보세요.
x와 y가 변하면 L₁, L₂, L∞ 노름이 어떻게 달라지는지 실시간으로 확인할 수 있습니다.
공학에서는 왜 여러 노름을 사용할까?
차량이 차선을 따라 주행한다고 생각해 보겠습니다.
컴퓨터는 보통 두 가지 오차를 함께 계산합니다.
- 차선에서 얼마나 벗어났는가?
- 차량 방향이 얼마나 틀어졌는가?
여기서 질문입니다.
이 두 오차는 항상 똑같이 중요할까요?
아마 그렇지 않을 것입니다.
고속도로에서는 차선에서 벗어나는 것이 더 위험할 수 있고, 좁은 골목에서는 차량의 방향이 더 중요할 수도 있습니다.
즉, 모든 오차를 똑같이 취급하는 것이 아니라 중요한 오차에 더 큰 비중을 주고 싶어집니다.
그 생각을 수학으로 표현하면 다음과 같은 식이 등장합니다.
오늘 기억해야 할 것은 단 하나입니다. "모든 오차를 똑같이 취급하지 않을 수도 있다." 그 생각이 바로 이 식의 출발점입니다. Quadratic Form과 LQR를 배우게 되면 이 식을 다시 만나게 됩니다.
H₂, H∞는 또 무엇일까?
혹시 제어공학을 공부하다 보면 H₂, H∞라는 말을 들어본 적이 있을 수도 있습니다.
처음에는 "노름이 또 나오네?"라는 생각이 듭니다.
맞습니다. 하지만 벡터 노름과 시스템 노름은 완전히 같은 개념은 아닙니다.
다만 생각하는 방식은 같습니다.
- 벡터에서는 "이 벡터가 얼마나 큰가?"
- 신호에서는 "이 신호 전체가 얼마나 큰가?"
- 시스템에서는 "이 시스템이 입력을 얼마나 크게 증폭시키는가?"
측정하는 대상은 달라졌지만, "크기를 하나의 숫자로 표현한다." 라는 철학은 그대로 이어집니다.
이 부분은 강인제어 시리즈에서 조금 더 자세히 다뤄보겠습니다.
오늘의 핵심 문장
노름은 벡터의 길이를 계산하는 공식이 아니라, 무엇을 '크다'고 볼 것인지 정하는 기준입니다.
다음 글
벡터 하나의 크기를 숫자 하나로 표현할 수 있게 되었습니다.
그렇다면 벡터 두 개를 숫자 하나로 압축하는 방법도 있을까요?
다음 글에서는 내적(Dot Product)이 왜 등장했는지, 그리고 왜 제어공학에서 방향과 유사성을 계산하는 데 중요한 개념인지 함께 알아보겠습니다.